Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев Страница 34

что независимо от меня, счисляющего, единица требует перехода к двойке, а двойка требует перехода к тройке и т.д. Когда в числе есть это – не субъективная, а чисто числовая же энергия самосозидания, тогда могу я, применяя данное число, переходить от единицы к двойке и т.д. Если же этого перехода не происходит в самом числе чисто смысловым, чисто числовым образом, то тогда невозможен и самый мой счет, как и счет вообще.

f) Если, таким образом, употреблять термины не в общем и повседневном смысле, но в таком чисто диалектическом и строго фиксированном понимании, как это конструировано выше, то можно дать такое определение числа, и это определение совершенно точно:

число есть выразительный акт смыслового самополагания.

Это определение легко детализировать, вводя те или иные или все вместе категории, входящие в числовую пентаду. Поскольку мы говорим о выражении (или об энергийном выражении), постольку тут уже содержатся все предыдущие категории, потому что выражено может быть только то, что есть (хотя бы лишь для мысли), только то, что имеет смысл (хотя бы и смысл небытия), только то, что имеет не абстрактно-мертвый, но подвижной и становящийся смысл (иначе выражение ничем не будет отличаться от предмета выражения), и, наконец, только то, что в своем становлении пришло к какому-нибудь осмысленному результату.

IV.

К общему резюмирующему заключению фундаментального анализа числа необходимо сделать еще два добавления.

a) Во-первых, данное диалектическое построение ни в каком случае не может считаться единственным. Подобно тому как любая наука допускает очень многие – может быть, даже бесконечно разнообразные – формы построения и изложения (в том числе и такая точная наука, как математика), подобно этому и диалектика понятия числа, как и вообще диалектика, может быть построена и изложена самыми разнообразными способами. Достаточно указать на то, что сам автор этого сочинения излагал диалектику числа несколько иначе в своих других трудах. В данном месте настоящего сочинения стоит, пожалуй, указать еще один, более педантический, но имеющий также и свои преимущества способ.

Именно, можно взять основную триаду и в каждый из ее членов вставлять снова триаду же. В таком положении удобнее взять основную триаду не в виде «бытие, инобытие, определенное бытие», но в виде «бытие, инобытие, становление». Тогда первый член, бытие, с проведением внутри него новой триады превратится в перво-принцип и на его фоне – число, точнее, перво-принцип и исходящая из его глубины триада, которую мы уже формулировали в § 16, – «число, количество, величина». Второй член, инобытие, в этих условиях будет состоять из триады «смысл (бытие), гилетическое инобытие, эйдос». Третий член, становление, будет содержать – «становление, ставшее, энергия (выражение)». Таким образом получится девятка, эннеада, а с присоединением сверху абсолютной неразличимости – декада; и в каждом из членов такой эннеады можно проводить всю эннеаду снова, а в каждом члене малой эннеады еще новую эннеаду и т.д. В дальнейшем мы не раз будем применять введение триадического принципа в области уже выведенной триадической конструкции.

b) Во-вторых, предложенная выше диалектическая пентада (которую легко превратить в эннеаду и декаду) должна явиться для нас тем, что уже реально вскрывает самую идею числа и конструирует все его основные конститутивные моменты. Выведение этих конститутивных моментов числа вплотную подводит нас к анализу первичных основоположений числа, составляющих переход уже к анализу отдельных видов и типов числа. То, что мы сделали до сих пор, есть анализ основных категорий, из которых логически построяется идея числа. Это и есть в числе самое основное. Но, владея таким результатом, мы можем задаться вопросом о том, как функционируют эти категории на фоне общей идеи числа.

До сих пор мы дедуцировали не столько структуру числа, сколько самое число, продуцируя категории, как они появляются в общем диалектическом процессе, независимо даже от поставленной нами цели – дать диалектику данного числа. Можно сказать, что до сих пор наше исследование велось так, что мы как бы забывали, что такое число, и просто занимались общей диалектикой. И в общем диалектическом процессе мы вдруг перекинулись на категорию числа, которую и вывели наряду с прочими категориями. Теперь же нам предстоит другая задача. Уже имея диалектически сконструированную идею числа, мы должны рассмотреть внутри этой идеи функционирование каждой из выведенных нами категорий, понять каждую такую категорию как реальное определение идеи числа. Это приводит нас к дедукции ряда основных суждений, которые и должны демонстрировать впервые зарождающуюся здесь науку о числе, ибо наука невозможна не только без категорий, но она невозможна и без суждений. Суждения (а также и необходимо вытекающие из них умозаключения) есть не что иное, как реальное приложение и функционирование самих же категорий. А основные, конститутивные категории числа должны привести к дедукции также и основных, конститутивных суждений о числе. И если бы мы это сделали, мы тем самым наметили бы и дали бы в некотором предварительном, но тем не менее систематическом очерке науку о числе в ее самом основном и самом первоначальном виде. И это сразу же математически конкретизировало бы все наши предыдущие дедукции, весьма отягощенные принципами общей диалектики и ориентированные только на голую идею числа, а не на логически-математическую структуру.

Это и значит, что мы должны перейти сейчас к математической аксиоматике, к диалектической дедукции основных аксиом числа вообще.

III.

ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ ЧИСЛА

(ЧИСЛО КАК СУЖДЕНИЕ)

A) ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

§ 32.

Обычные предрассудки

Приступая к анализу основных аксиом числа, нельзя не упомянуть о главнейших предрассудках, до последнего времени господствующих в этой области. Их очень много, и мало-мальски обстоятельная критика их заняла бы слишком много места. Но наше сочинение не преследует ни исторических, ни полемических целей, и потому соответствующие указания могут быть только самыми краткими. Главным образом бросаются в глаза два обстоятельства, характерные почти для всех систем математической аксиоматики.

Во-первых, аксиоматика чаще всего преследует цели не чисто математические и даже не чисто логические. С аксиоматикой часто связывают, напр., гносеологические, если не прямо метафизические, цели и точки зрения. Одни стараются доказать, что наши аксиомы чисто опытного происхождения; другие уверяют, что их наличие, наоборот, указывает на априорное происхождение. Одни говорят, что аксиомам соответствует какая-то реальная предметность; другие, наоборот, – что это чистейшие фикции, о реальности которых нечего и ставить вопрос и которые функционируют как словесные знаки, совершенно условные и субъективные. Ясно, что все подобные суждения направлены к целям совсем не математическим и совсем не