Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт Страница 40

что, по мере того как значение A, возрастая, проходит по действительным числам, соответствующее ему значение eiA совершает оборот за оборотом вдоль единичной окружности с постоянной скоростью. Эта связь дает нам возможность превратить любое утверждение о периодической функции, имеющей форму синуса или косинуса, в комплексную экспоненту. Математически экспонента проще и легче поддается обработке. Более того, угол A имеет естественную физическую интерпретацию как фаза колебаний. Это означает, что изменение A путем прибавления к нему постоянного угла B сдвигает кривые синуса и косинуса на соответствующую величину (серые кривые на рисунке).

Что еще лучше, основные дифференциальные уравнения для напряжений и токов в контурах распространяются на множество комплексных чисел в неизменном виде. Физические колебания становятся действительной частью комплексной экспоненты, причем одни и те же методы применимы как к переменному, так и к постоянному току. Как будто вполне реальное (действительное) поведение имеет тайного мнимого двойника, и вместе они становятся проще, чем по отдельности. Инженеры-электронщики постоянно пользуются этим математическим приемом для упрощения расчетов, даже при наличии компьютера.

* * *

В электронике комплексные числа выскакивают как математический кролик из шляпы фокусника и облегчают инженерам жизнь – ну просто так получается. Но есть одна замечательная область, в контексте которой комплексные числа абсолютно необходимы и имеют физический смысл. Это квантовая механика.

Вигнер сделал этот образчик непостижимой эффективности центральным в своей лекции:

Не следует забывать, что гильбертово пространство квантовой механики – это комплексное гильбертово пространство… Для неподготовленного ума понятие комплексного числа далеко не естественно, не просто и никак не следует из физических наблюдений. Тем не менее использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики, а становится почти необходимым при формулировке законов.

Кроме того, он постарался особо подчеркнуть, что подразумевается под «непостижимым»:

Ничто в имеющемся у нас опыте не наводит на мысль о введении этих величин. Если же мы спросим у математика о причинах его интереса к комплексным числам, то он с негодованием укажет на многочисленные изящные теоремы в теории уравнений, степенных рядов и аналитических функций в целом, обязанных своим появлением на свет введению комплексных чисел… Невольно создается впечатление, что чудо, с которым мы сталкиваемся здесь, не менее удивительно, чем… два других чуда – существование законов природы и человеческого разума, способного постичь их.

Квантовая механика возникла около 1900 года для объяснения странного поведения веществ в микромире, которое тогда вдруг начали обнаруживать физики-экспериментаторы, и очень быстро превратилась в самую успешную физическую теорию, когда-либо придуманную человечеством. Там – на уровне молекул, атомов и, особенно, элементарных частиц, из которых складываются атомы, – вещество ведет себя удивительно и загадочно. Настолько удивительно и загадочно, что совершенно неясно, применимо ли ко всему этому слово «вещество». Волны, такие как свет, иногда ведут себя как частицы, фотоны. Частицы, такие как электроны, иногда ведут себя как волны.

Эту двойственность волны-частицы (так называемый корпускулярно-волновой дуализм) со временем удалось описать с помощью математических уравнений, которые управляют одновременно волнами и частицами, хотя до сего дня многое остается загадкой. По ходу дела способ представления того и другого в математике пережил радикальную трансформацию и изменился до неузнаваемости. До того момента физики характеризовали состояние частицы вещества лишь небольшим набором параметров: масса, размер, положение в пространстве, скорость, электрический заряд и т. д. В квантовой механике состояние любой системы характеризуется волной, точнее говоря, ее волновой функцией. Как следует из названия, это математическая функция с волноподобными свойствами.

Функция – это математическое правило или процесс, который преобразует одно число в другое определенным образом. В более общем случае функция может преобразовывать список чисел в число или даже в другой список чисел. В еще более общем случае функция может оперировать не только числами, но и множеством математических объектов любого рода. Например, функция «площадь треугольника» действует для множества всех треугольников, и, когда вы применяете ее к конкретному треугольнику, значением функции становится площадь этого треугольника.

Волновая функция квантовой системы действует для списка возможных измерений, которые мы можем произвести в системе, таких как координаты ее положения и компоненты скорости. В классической механике состояние системы обычно определяется конечным числом таких чисел, но в квантовой механике список может включать бесконечно много переменных. Они берутся из так называемого гильбертова пространства, которое (часто) представляет собой пространство бесконечной размерности с однозначно определенным понятием расстояния между любыми двумя его точками{51}. Волновая функция дает на выходе единственное число для каждой функции в гильбертовом пространстве, но число это не действительное, а комплексное.

В классической механике наблюдаемое (величина, которую мы можем измерить) связывает каждое возможное состояние системы с числом. Например, если мы наблюдаем расстояние от Земли до Луны, то получаем в результате единственное число – наблюдаемое здесь есть функция, определенная на пространстве всех возможных конфигураций, в которых Земля и Луна могут хотя бы в принципе находиться. В квантовой механике наблюдаемые величины суть операторы. Оператор берет элемент гильбертова пространства состояний и превращает его в комплексное число. Операторы должны подчиняться короткому списку математических правил. Одно из них – линейность. Предположим, у вас есть два состояния x и y, и оператор L дает для них на выходе L(x) и L(y). В квантовой теории состояния могут накладываться друг на друга, наслаиваться – складываться – и давать в результате состояние x + y. Линейность означает, что оператор L должен в этом случае дать на выходе L(x) + L(y). Полный список требуемых свойств дает так называемый эрмитов оператор, который прекрасно ведет себя в связи с расстояниями в гильбертовом пространстве.

Физики выбирают эти пространства и операторы разными способами для моделирования конкретных квантовых систем. Если их интересуют состояния координат и импульса единичной частицы, гильбертово пространство состоит из всех квадратично интегрируемых функций и имеет бесконечную размерность. Если их интересует спин единичного электрона, гильбертово пространство двумерно и состоит из так называемых спиноров. В качестве примера можно привести уравнение Шрёдингера, которое выглядит примерно так:

Вам не обязательно разбираться в математике, но давайте посмотрим на символы. Особенно на первый, который в значительной мере все проясняет: это i, квадратный корень из минус единицы. Мы смотрим на базовое уравнение квантовой механики, и первый же символ, который видим перед собой, – это мнимое число i.

Следующий символ,

 – это число, которое называют приведенной постоянной Планка, и оно очень-очень мало: около 10–34 Дж∙сек. Именно оно дает квантовой механике ее кванты – крохотные, но дискретные скачки в значениях, которые могут