Удивительные числа Вселенной - Антонио Падилья Страница 37

В общем, если вы действительно хотите зафиксировать всю информацию в числе Грэма, вам понадобится Вселенная побольше. Если у нее есть деситтеровский горизонт, он должен быть не меньше числа Грэма — в метрах, милях или любых других единицах, которые вы решите использовать. Мы живем в другом месте (наши деситтеровские горизонты ничтожны по сравнению с этой величиной), однако подобная Вселенная в принципе могла бы существовать. Теория струн предсказывает мультивселенную — огромное множество Вселенных, имеющих разные размеры, форму и количество измерений. Если в этой мультивселенной существуют гиганты с невообразимо большой космологической оболочкой, то, возможно, найдется место для Грэма и его исполинского числа.

Tree(3)

Игра деревьев

При счете 47–47 в последнем сете табло корта № 18 Всеанглийского клуба лаун-тенниса и крокета отказало. Шел Уимблдонский теннисный турнир 2010 года. Француз Николя Маю (прошедший в турнир через квалификационные игры) и его американский соперник Джон Изнер творили историю. На тот момент их матч уже был самым длинным в истории тенниса, но при этом еще далек от завершения. Табло отказало, потому что не было рассчитано на такие продолжительные игры. Инженеры, которые его запрограммировали, не ожидали, что электронике придется обрабатывать столько данных в таком количестве геймов. Когда экран погас, счет продолжил вести арбитр, и к моменту наступления темноты в конце второго дня игры матч остановили при счете 59–59. За ночь программисты починили табло, но предупредили: «Если они сыграют не больше двадцати пяти геймов, все в порядке. Если они будут играть дольше, табло откажет». Повезло. В двадцатом гейме третьего дня Изнер нанес потрясающий удар по линии и тем самым взял гейм на подаче Маю. Война на истощение наконец закончилась. Изнер выиграл: 6–4, 3–6, 6–7, 7–6, 70–68. Непримечательный матч первого круга превратился в удивительное событие. Двое игроков сражались на корте более одиннадцати часов, изнемогая, но не сдаваясь. Оба сделали более сотни эйсов (подач навылет). Для зрителей на корте № 18 и миллионов телезрителей этот матч оказался угрозой вечности.

Уимблдон никогда больше не увидит ничего подобного. В 2018 году, через восемь лет после эпической встречи Маю и Изнера, Всеанглийский клуб решил изменить правила[75]. Организаторы обеспокоились соблюдением расписания и влиянием марафонских поединков на физическое состояние игроков. Они заявили, что со следующего года в пятом решающем сете при счете 12–12 игроки будут играть тай-брейк. Угроза бесконечного матча уменьшилась, но не исчезла, ведь ограничений на продолжительность тай-брейка или отдельного гейма не существует, и теннисный матч по-прежнему потенциально может длиться вечно.

То же верно и для «Монополии». Я уверен, что после нескольких часов игры вы уже задавались вопросом, завершится ли когда-нибудь партия, надеясь приземлиться в отеле в Мейфэр[76], лишь бы все закончилось. Угроза бесконечности есть всегда, если только вы не придерживаетесь исключительно тех игр, которые гарантированно заканчиваются после конечного числа шагов вроде крестиков-ноликов. Шахматы — еще одна конечная игра: если мы используем обязательное правило семидесяти пяти ходов, шахматная партия гарантированно закончится менее чем за 8849 ходов. Итак, если вы намереваетесь оставаться в конечном мире, что делать, если кто-нибудь предлагает сыграть в Игру деревьев? Грозит ли это вам вечностью?

Этот вопрос поставил великий странник Пал Эрдеш, рассказывая о своих путешествиях по математическому миру в конце 1950-х. Эрдеш часто говорил о молодом венгерском математике, с которым он познакомился в Будапеште, когда оба они были еще подростками. Его звали Эндре Вайсфельд, или Эндрю Важони, как он стал называть себя позже. Он поменял имя из-за дискриминации евреев в 1930-х, а затем бежал в Америку. По словам Эрдеша, Важони выдвинул гипотезу, что Игра деревьев всегда будет конечной, однако так и не доказал свое утверждение, а теперь уже умер. На самом деле Важони был жив и здоров, — по крайней мере, когда Эрдеш рассказывал свою историю. Просто на языке Эрдеша он именовался умершим, поскольку ушел из науки и устроился на хорошо оплачиваемую работу авиаинженера. Однако гипотеза оставалась недоказанной. В коридорах Принстона байки Эрдеша с интересом выслушивал один талантливый молодой студент. Его звали Джозеф Краскал.

Весной 1960 года, только что защитив докторскую диссертацию, Краскал доказал, что Игра деревьев гарантированно заканчивается после конечного числа ходов. Однако имейте в виду: хотя игра конечна, она легко может продлиться дольше жизни человека, планеты или даже галактики. Возможно, вам придется играть до смерти Вселенной и еще дольше.

Давайте играть. Идея в том, чтобы построить лес деревьев из определенного множества семян.

Вот типичное дерево.

Как видите, деревья — просто кружки, соединенные линиями. Кружки — семена, а линии — ветви. В нашем примере есть три разных типа семян: черные, белые и крестики. Правила игры таковы: когда вы строите лес, первое дерево должно иметь не более одного семени, второе — не более двух и т. д. Лес умирает, если вы строите дерево, которое содержит одно из предыдущих деревьев. У выражения «содержит одно из предыдущих деревьев» есть точное математическое значение, но, возможно, достаточно представить яблоню. Яблони могут стоять отдельно, а могут вырастать из других деревьях. Возможно, где-нибудь в лесу вы видите определенную яблоню, а затем обнаруживаете какую-то большую сосну, из ствола которой торчит точная копия этой яблони. Такая ситуация в Игре деревьев запрещена.

Чтобы дать более точное определение, сравним несколько деревьев и спросим, «содержит» ли одно из них другое. Например, рассмотрим следующие различные деревья.

Содержит ли дерево A дерево B? Ответ довольно очевиден. Конечно, дерево А содержит дерево B — это видно по верхним ветвям. А что насчет дерева С? Содержится ли и оно в дереве А? На первый взгляд кажется, что нет, но подумайте, что произойдет, если вы прикроете белое семя в центре дерева А. То, что остается, по сути является деревом С. Таким образом, в этом смысле вы можете утверждать, что дерево А действительно содержит дерево С.

Чтобы разобраться с ситуацией, нужно поближе взглянуть на свод правил. Чтобы одно дерево содержало другое, мы должны уметь сопоставлять соответствующие семена, как сделали в вышеприведенном примере, прикрыв белое семя дерева А. Но одного этого недостаточно. Соответствующие друг другу семена также должны согласовываться по своему ближайшему общему предку. Для любых двух семян на верхних ветвях дерева вы можете найти