Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт Страница 23

становится очень естественным. Любой маршрут, который входит на участок суши по одному мосту, должен уйти с него по другому, если это не конец разомкнутого маршрута. Аналогично любой маршрут, покидающий участок по одному мосту, должен был ранее входить на него по другому, если это не начало разомкнутого маршрута. Так что мосты должны существовать парами, за исключением двух концов. Следовательно, все участки суши, расположенные не на концах маршрута, связаны с четным числом мостов. Если на концах число мостов нечетное, возможен только незамкнутый маршрут. В противном случае начало и конец могут находиться в одной области и соединяться без всяких мостов, образуя замкнутый маршрут. Теперь к каждой области подходит четное число мостов.

Решением этого единственного класса задач Эйлер дал старт двум важным областям математики. Одна из них – теория графов, которая изучает точки, соединенные линиями. Звучит очень просто, даже как-то по-детски. Так и есть. Но в то же время это глубоко, полезно и сложно, как мы увидим. Вторая – топология, которую иногда называют «геометрией резинового листа», где фигуры могут деформироваться непрерывно и при этом не считаться существенно различными. Здесь формы линий и расположение точек могут меняться как угодно при условии, что не меняется способ их соединения (требование непрерывности), и получается, по существу, тот же граф. Тот же в том смысле, что сообщает ту же информацию о том, что с чем соединяется.

Мне кажется замечательным, что простая головоломка может привести к таким значительным нововведениям. Воистину непостижимая эффективность. Кроме того, в этой истории содержится важный урок, который внешний мир зачастую не воспринимает. Не стоит недооценивать математику, которая выглядит просто и больше похожа на детскую игрушку, чем на что-нибудь серьезное. Дело не в том, насколько проста игрушка, а в том, как вы ее используете. Мало того, одна из главных задач хорошей математики состоит в том, чтобы сделать все как можно более простым. (Вы можете усмехнуться, и это будет справедливо, если вспомнить, насколько сложно выглядит значительная часть математики. Я просто должен здесь добавить оговорку, приписываемую Эйнштейну: как можно более простым, но не слишком простым.) Превращение островов в точки, а мостов в линии не меняет сути головоломки, а помогает отбросить лишнюю информацию: какая стоит погода? Грязно ли на улице? Мост металлический или деревянный? Эти вещи важны, если вы собираетесь на субботнюю прогулку или строите мост. Но если вы хотите ответить на вопрос, который ставил в тупик добрых граждан Кёнигсберга, все это лишь помехи.

* * *

Ну а какое отношение мосты Кёнигсберга имеют к трансплантации почек? Непосредственно почти никакого. Косвенно статья Эйлера положила начало развитию теории графов, которая открывает перед нами эффективный способ подбора доноров для реципиентов даже при условии, что большинство доноров готовы отдать свою почку только близкому родственнику{38}. Когда в Великобритании в 2004 году вступил в действие Закон о тканях человека, люди получили возможность законным образом отдавать почки не только родственникам.

Очень серьезную проблему представляет поиск подходящих пар доноров и реципиентов, потому что даже в тех случаях, когда имеется донор, тип его тканей и крови может не совпасть с типом тканей и крови предполагаемого реципиента. Представьте себе, что дядюшка Фред нуждается в почке, а его сын Уильям готов пожертвовать свою, но не хочет делиться почкой с чужим человеком. К несчастью, у почки Уильяма не тот тип ткани. До 2004 года на этом все кончалось, и Фред был обречен на частые сеансы диализа на специальном аппарате. Такой же была судьба многих других потенциальных реципиентов, у которых тип ткани совпадает с типом ткани Уильяма. Теперь представьте, что Джон Смит, не состоящий в родстве с Фредом и Уильямом, сталкивается с той же проблемой: его сестра Эмили нуждается в новой почке и он готов отдать ей свою, но, опять же, не готов делиться почкой с чужим человеком. И у него тип ткани отличается от типа ткани Эмили. В итоге никто не получает почку для пересадки.

Предположим, однако, что типы тканей у Джона и у Фреда, а также у Уильяма и Эмили совпадают. После 2004 года это создает условия для законного обмена почками. Задействованные в операциях хирурги могут встретиться и предложить, чтобы Джон разрешил передать его почку Фреду при условии, что почка Уильяма достанется Эмили. Оба донора с гораздо большей вероятностью согласятся на такие условия, поскольку их родственники получат новую почку, а они пожертвуют свою, иначе говоря, сделают то, что собирались сделать с самого начала. Кто именно получит чью почку, не слишком волнует ни доноров, ни реципиентов, хотя это принципиально важно с точки зрения совместимости тканей.

При современных средствах коммуникации хирурги могут обнаружить подобное совпадение, если будут вести реестр потенциальных доноров и реципиентов с указанием типа их ткани. Если число реципиентов и потенциальных доноров невелико, вероятность такого обмена также невелика, но она становится гораздо больше, когда их число растет. Число потенциальных реципиентов весьма велико: в 2017 году в Великобритании в списке ожидающих пересадку почки значилось более 5000 человек. Почка при этом могла поступить как от умершего донора, так и от живого, но число доноров меньше числа реципиентов – около 2000 на тот же момент времени. В результате среднее время ожидания превышает два года для взрослого и девять месяцев для ребенка.

Один из способов улучшить ситуацию – организация более сложных цепочек обмена почками. Закон в настоящее время разрешает сделать и это. Предположим, что Амелия, Бернард, Кэрол и Дейдра нуждаются в пересадке почки. У всех у них есть на примете доноры, изначально готовые поделиться с ними, причем только с ними. Предположим, что их доноров зовут Альберт, Берил, Карл и Дайана. Цепочка начинается с донора-альтруиста Зои, готовой отдать свою почку кому угодно. Предположим, что типы тканей допускают цепочку следующего вида:

Зои передает свою почку Амелии.

Альберт, донор Амелии, соглашается отдать свою почку Бернарду.

Берил, донор Бернарда, соглашается отдать свою почку Кэрол.

Карл, донор Кэрол, соглашается отдать свою почку Дейдре.

Дайана, донор Дейдры, соглашается пожертвовать свою почку кому-нибудь из очереди.

В целом всех все устраивает. Амелия, Бернард, Кэрол и Дейдра получают новую почку. Альберт, Берил, Карл и Дайана жертвуют свою почку, хотя и не родственнику, но в рамках цепочки, которая принесет ему пользу. Часто доноров это вполне устраивает, что и делает подобные обмены возможными – ведь, если они не согласятся, их родственник не получит почку в этот раз. Зои рада, что ее альтруистический порыв принесет кому-то пользу, и