Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев Страница 85

типах геометрии, рассмотренных выше в п[унктах] 2 – 4, инвариантность дана в процессуальном ряду сразу, здесь же она – в виде достоверности – только еще устанавливается. Тем не менее и здесь поток самого становления вероятности обусловлен определенной едино-раздельной системой (ростом количества «случаев»); и общее место закона больших чисел, несмотря на отдаленность с учением о преобразованиях в арифметике и геометрии, в основе все же сохраняет с ним единство: это становление, рассмотренное с точки зрения нестановящегося.

Понятно также и то, что с законом больших чисел впервые появляется возможность реального измерения вероятностной области вообще, в связи со статистическими вероятностями, средними величинами, дисперсией и пр.

8.

a) Остается сделать одно общее замечание о всей рассматриваемой в последних двух п[унктах] сфере «взаимодействия», и – мы совсем покинем категорию становления. А именно, если едино-раздельность в свете становления еще рисует пока только саму же едино-раздельность или само становление, то относительно становления в свете едино-раздельности может возникнуть вопрос: не есть ли это попросту ставшее? Ведь едино-раздельность вносит в становление некоторую запруду и лишает его характера абсолютной текучести. Не есть ли это само ставшее и не перешли ли мы здесь уже за пределы аксиом становления?

Нет, мы еще не перешли к ставшему в собственном смысле, хотя при более суммарном изложении эти тонкости и не имело бы смысла проводить. Ставшее есть остановившееся становление, а у нас становление еще не остановилось. Это значит, что мы еще не можем сравнивать результаты процессов становления между собою, но должны находиться внутри становления. Устойчивые моменты, включаемые в становление едино-раздельной сферой, не касаются самого становления вообще, самого принципа становления, но только содержания этого становления. Поэтому в арифметике мы получили возможность модифицировать и комбинировать действия, превращая их в те или иные преобразования, но мы на этой стадии еще не смогли сравнить результаты действий с точки зрения действий как таковых, с точки зрения принципа действий. Мы, напр., еще не знаем коммутативность сложения или умножения. Нет сомнения, что применение операции с невыясненным законом коммутативности есть нечто весьма недостаточное и незрелое. Но это значит только то, что одна категория становления не может обеспечить полноты идеи арифметической операции и что необходимо привлечение дальнейшего. Также и полученные нами типы геометрии предполагают бесконечное варьирование одних элементов и инвариантность других, но ясно, что ограничение этого варьирования и превращение его из становления в ставшее должно привести еще к новым построениям, которые мы и получаем в связи с категорией конгруэнтности. Конгруэнтность превратит и полученные нами отвлеченные инвариантные элементы в структурные принципы, так что не этот инвариант будет рассматриваться на фоне становления (напр., как аффинность рассматривается на фоне параллельных преобразований), но он будет рассматриваться сам по себе в сравнении с другими такими же геометрическими фактами, в результате чего мы сможем накладывать их один на другой и судить об их конгруэнтности, подобии и пр. Все это возможно только потому, что геометрическая фигура превратится тут у нас в ставшее, в бытие наличное.

К этому мы сейчас и обратимся.

b) Для цельности диалектической картины, однако, мы приведем в заключение ту нашу универсальную схематику в рассматриваемой области, которую мы должны были бы привести с самого начала, но которую не приводим ради избежания различных нагромождений, заменивши ее сферой «взаимодействия» двух рядов аксиом. Именно, в отношении всей сферы становления необходимо различать наши пять основных диалектических ступеней. То, что мы выше (§ [59]) изобразили как непрерывность вообще, это будет перво-принципом аксиоматики становления. То, что выше мы формулировали как аксиому едино-раздельности, рассмотренную в свете аксиом становления, есть принцип аксиоматики становления. Само становление в свете едино-раздельности необходимо оказывается становлением этой аксиоматики становления. В качестве ставшего, если брать арифметику, очевидно, мы должны выдвинуть разные преобразования, равно как и под выразительной формой. Ведь арифметическое становление вообще есть только арифметическая операция, она есть именно принцип становления, и, если перво-принцип арифметического становления есть непрерывность, все остальное, – т.е. и становление принципа, и его ставшее, и его выразительная форма – есть та или иная последовательность операций, или преобразований. Соответственно, в геометрии после непрерывности как перво-принципа и после геометрического построения как принципа мы имеем только разные типы геометрических структур.

Становление, ставшее и выразительная форма этих структурных построений дает нам в этой развитой установке

· для становления – топологию, проективную и аффинную геометрию,

· для ставшего – геометрию подобных преобразований и только

· для выразительной формы – полную метрическую геометрию (хотя все еще без деталей, которые придут позже).

Все эти виды геометрий в переводе на язык арифметики и есть не что иное, как та или иная последовательность преобразований. Наконец, ту же последовательность операций мы должны были бы проводить и в теоретико-множественной, и в теоретико-вероятностной области. Но мы избежали этих слишком [частных] для аксиоматики деталей, введя просто сферу взаимодействия аксиом едино-раздельности и становления и приведя для теоретико-множественной последовательности указание на измеримость, а для теоретико-вероятностной – указание на закон больших чисел.

d) Аксиома ставшего числа (или конгруэнтности)

§ 64.

Принцип ставшего числового бытия как принцип конгруэнтности

Если мы вспомним, что выше говорилось о категории ставшего, или, что то же, о категории «наличного бытия» (§ 21), то применение ее в области аксиоматики влечет за собою очень важное построение, которое тоже еще не нашло в математике и в математической философии настоящего расчленения.

1.

Что становление требует ставшего, что эти категории одна другую предполагают, об этом не будем долго разговаривать. Все сомнения, которые возможны в этом вопросе, рушатся уже от простейшей установки: если есть становление, то есть и ставшее. Ибо становиться может только нечто. Но это нечто не то, которое было до становления, и потому если мы становление противопоставим чисто идеальной структуре, бывшей еще до становления, то тем самым мы вернемся назад, и ни на шаг диалектический процесс от этого вперед не продвинется, хотя идеальное и противостоит становлению как бытию вне-идеальному, алогическому. Следовательно, дальнейшее движение мысли получится только тогда, когда мы становлению противопоставим такое нечто, которое хотя и не будет самим становлением, но как-то его в себя вместит как подчиненный момент. Должно возникнуть такое нестановящееся, которое вместило в себя всю стихию становления и которое уже не просто идеально неподвижно, но неподвижно в смысле реальном, неподвижно в смысле становления, в смысле результата становления. А это и есть ставшее.

Ставшее – то, что стало, т.е. остановилось; следовательно, оно – неподвижно. Однако эта