Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев Страница 82

того и требует сама едино-раздельность, которая есть, как мы знаем, начало отвлеченное, идеальное. Сохраняя подвижной покой как отвлеченную категорию, имеем топологию, где все деформируется, кроме последовательности элементов, а сама она понимается – в наглядном смысле – как угодно. Берем самотождественное различие как отвлеченную категорию, оставляя все прочее в становлении, т.е. в сплошной деформации, – получаем проективную геометрию, где сохраняется различие элементов, но – лишь как отвлеченных понятий (прямая везде остается как прямая, т.е. как прямая вообще; и не важно, какая именно это будет прямая). Наконец, если мы вводим наличное бытие как категорию и смотрим, что получается при рассмотрении становления в его свете, то мы замечаем, что тут образуется определенность, оформленность, конечность, но пока тоже как принцип, потому что для аффинной геометрии важна не цельная и конкретная фигура, но лишь ее конечная определенность вообще. В этом и состоит тайна параллелизма, той, в принципе, конечной определенности фигуры, когда она рассматривается не в виде отвлеченной категории просто, но в виде непрерывного становления, – рассмотренного с точки зрения отвлеченной категории конечной определенности.

Таким же отвлеченным принципом, в свете которого рассматривается непрерывное становление, может явиться, наконец, и само становление. Но последнее тут определяет собою уже не просто конечную фигурность, но и отличие одной конечной фигурности от другой (как на стадии проективной геометрии было мало фигуры вообще, а нужно было отличие одной фигуры от другой), потому что, увлекая конечную фигуру в свою стихию, оно тем самым меняет ее на ряд других конечных фигур. Но как возможен этот бесконечный ряд конечных фигур? Он возможен только как нечто единое. Этим единым является, конечно, уже само становление. Однако такое единое есть только порожденное единое, а не самая структура единого. Структура же как единое, т.е. та структура, которая характеризует и каждую отдельную конечную фигурность и есть нечто общее, может быть только мыслимой, а не вещественной. «Чтойность» вещи, взятая как принцип, может быть только мнимой. Та общая индивидуальность, которая определяет собою во всех индивидуумах самое конкретное в них и в то же время есть для них общее, эта индивидуальность есть мнимое. Отсюда – необходимость введения мнимого сферического круга, о котором шла речь выше.

Этот круг образуется путем пересечения любого конечного шара с бесконечно удаленной плоскостью. Но является заблуждением думать, что он, равно как и циклические точки, находится тоже на бесконечном расстоянии. Тогда именно потонуло бы все различие конечных кругов одного от другого. Так как этих конечных кругов бесконечное количество, то они в самом разнообразном смысле пересекаются в бесконечно удаленной плоскости. Поэтому циклические точки и мнимый сферический круг, чтобы обеспечить индивидуальную конкретность каждой конкретной фигуры, должны быть не на бесконечном расстоянии, а только на неопределенном. В самом деле, находя уравнение круга в однородных координатах

(ξ – aτ)2 + (η – bτ)2 – r2τ2 = 0

и находя, что пересечение этого круга с бесконечно удаленной прямой τ = 0 определяется уравнением

ξ2 + η2 = 0,

мы определяем расстояние циклических точек так:

(√(ξ2 + η2))/τ = 0/0

что и есть неопределенность. Так же неопределенно и расстояние циклических точек и от всякой другой конечной точки. На это тонко обратил внимание Ф. Клейн.

g) Наконец, дадим кратчайшее резюме всем рассмотренным типам геометрического построения. Именно, обратим внимание на то, что в топологии имеется в виду не сама фигура, а лишь ее непрерывное становление, и притом становление, которое не позже становящегося, а еще раньше его (поскольку никакая определенная фигура тут еще не фиксируется). Но становление принципа, взятое до самого принципа, есть перво-принцип.

Поэтому мы и можем сказать так.

· Топология есть наука о пространственном становлении, в котором не становится (инвариантна группе преобразований) только фигура как перво-принцип.

· Проективная геометрия есть наука о пространственном становлении, в котором не становится только фигура как отвлеченный принцип (как общее понятие).

· Аффинная геометрия – то же, когда не становится только фигура как определенный принцип, т.е. как конечная фигурность.

· Общеметрическая геометрия – то же, когда не становится фигура как индивидуально-конечная фигурность.

Все это есть, таким образом, разная степень диалектической зрелости становления, зависящая от того, какие и в каких размерах категории воплощаются в этом становлении.

4.

a) В качестве добавления скажем еще, что, поскольку принцип становления вносит возможность разнообразных комбинаций логически выведенных аксиом независимо от их чисто логической взаимосвязи (включая и саму непрерывность), вполне мыслимо конструирование геометрии и без всякого принципа непрерывности. Гильберт построил т.н. неархимедову геометрию, содержащую в себе все аксиомы, как раз за исключением аксиомы непрерывности[27]. И тем же самым занимался раньше его еще Веронезе[28], объединявший неархимедову арифметику и геометрию с теорией трансфинитных чисел Кантора. Хотя подобное построение по существу своему еще более оригинально и неожиданно, чем открытие Лобачевского (так как у последнего изменена только метрика, в неархимедовой же геометрии нарушен самый континуум), все же формально и философски тут все совершенно обычно, и неархимедова геометрия – только одна из многочисленных диалектических теорий вообще.

b) Все предыдущие установки являются только принципом для реального построения диалектики геометрии, которое мы даем в дальнейшем. Там все эти аксиоматические принципы должны вырасти в зрелую систему. Здесь же от этого, конечно, необходимо воздерживаться, и может идти речь только о самых принципах. Это положение дела и можно зафиксировать следующим образом.

I. Становление конструируется –

· a) по типу подвижного покоя (т.е. порядка следования элементов), остающегося неизменным в условиях бесконечного становления прочих категорий (топология: любые свойства геометрических фигур инвариантны в отношении с любым непрерывным преобразованием);

· b) по типу подвижного покоя (порядка следования) и самотождественного различия (взаимопринадлежности, сопряжения элементов), остающихся неизменными в условиях неопределенного становления категории определенности (проективная геометрия: любые свойства фигуры инвариантны в отношении к группе коллинеаций);

· c) по типу подвижного покоя, самотождественного различия и определенности бытия, остающихся неизменными в условиях неопределенного функционирования самого становления, т.е. в условиях, когда категория становления еще не положена как самостоятельная (аффинная геометрия: любые свойства фигуры инвариантны к параллельному проектированию).

II. Становление конструируется по типу трех указанных основных категорий едино-раздельности с сохранением собственного принципа как инобытийного и потому с превращением его в то, чем измеряется фигура (метрическая геометрия: любое свойство фигуры инвариантно к абсолютно-измерительным операциям). Следовательно, фиксируется наиобщая и наиабстрактная метрика – та, которая гипостазирует идеальную фигурность во всей ее целостности, минуя те ее искажения, которые возникают от неполного числа категорий едино-раздельности. Эта метрика, однако, может быть и иной (она возникает уже в связи