Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев Страница 21

или, вернее, единичности, то становление тогда превращается в становление одного и того же и в одно и то же становление. Становление получает характер единообразия. А для числа это имеет колоссальное значение. Число, как совокупность актов полагания, имеет их не в каком попало и абсолютно бесформенном виде, но в форме некоего определенного следования. Нужно уметь точно фиксировать структуру этого следования. В чем она заключается?

Обратим внимание на то, как строится натуральный ряд чисел, или, что то же, совокупность единиц в данном числе. Раньше всего бросается в глаза абсолютная равномерность взаимного распределения этих чисел и этих единиц. Когда я мыслю пятерку, я предполагаю, что пять единиц, входящих в нее, входят в нее совершенно равноправно и абсолютно одинаково. Каждая единица тут не больше и не меньше другой, и «расстояние» между этими единицами абсолютно одинаково. Если иметь в виду аналогию с точками, определенное число будет состоять из определенного количества точек, абсолютно равномерно расположенных, точек, находящихся на абсолютно одинаковом расстоянии одна от другой. Это совсем не обязательно для всякой числовой структуры. Взявши т.н. упорядоченное множество, мы ясно видим, напр., что здесь как раз эти «расстояния» – разные. Если множеству свойственна идея порядка, то это значит только то, что множество есть определенная числовая фигурность, аналогичная геометрической фигурности, но только конструированная средствами не протяжения, но чистого числа. «Упорядоченность» здесь создает эту как бы разную расставленность и разную взаимораспределенность актов полагания. Говоря, однако, об упорядоченных множествах, нельзя забывать о том, что уже самое простое арифметическое число, самое обыкновенное число натурального ряда, несомненно, есть некое упорядоченное множество; и нужно только уметь описать разницу между этими двумя формами упорядочения.

Натуральный ряд, или, что то же, всякое арифметическое число, «упорядочен» так, что «расстояния» между отдельными актами («точками») абсолютно равномерны. Эта равномерность достигает такой степени, что уже пропадает тут самая необходимость говорить о «расстояниях». Присматриваясь ближе, мы начинаем видеть тут основную роль в том обстоятельстве, что акт полагания, «точка», берется тут в своем чистом, беспримесно логическом виде, вне всякого возможного инобытия. Акт полагания есть он сам именно акт полагания, в таком виде он и действует тут. Вместо того чтобы как-нибудь меняться или вступать в связь с другими структурами, он действует тут только как таковой, только как определенная, неподвижная категория, логическая категория, и больше никак. В становление втянута тут «точка» в своей абсолютной категориальной чистоте. Потому и не поднимается здесь никакого вопроса о «расстояниях» между «точками». Точки взяты здесь как таковые. Совокупность точек взята здесь так, что в нее совершенно не входит ничего иного, кроме чистой точки как таковой, или чистого полагания как такового, и того общего безразличного фона, на котором мыслится повторение и воспроизведение этих точек и актов. Для сформирования самой категории числа (не его специальных видов, а именно самого понятия числа, для сформирования числа вообще) требуется акт полагания, данный во всей своей смысловой чистоте и отвлеченности, акт полагания как таковой, вне всякого возможного своего модифицирования и варьирования.

Это и есть принцип чисто числовой последовательности и упорядоченности актов полагания в отличие от тех видов следования и порядка, которые свойственны специальным или более сложным структурам числа. «Упорядоченное множество» есть тоже некая упорядоченность, но она тут специфична; она не есть тут чисто категориальная упорядоченность, не есть упорядоченность в том смысле, что тут действует только голый принцип акта полагания, не модифицированный никаким инобытийным привнесением. Тут – такая упорядоченность, которая есть упорядоченность также и инобытийного фона становления актов полагания. Раз имеется в виду некоторая смысловая фигурность, значит, «множество» есть некоторая определенная расставленность и взаимораспространенность актов полагания. А это значит, что между точками, или актами полагания, из которых состоит данное «множество», мыслятся разные расстояния и эти точки находятся друг в отношении друга в разных направлениях. А это значит, что здесь активно участвует не только акт в своей чистой категориальности и принципности, но и самое это инобытие, на фоне которого разыгрывается становление этих актов. И потому «множество» есть гораздо более сложная упорядоченность, чем просто арифметическая. Упорядоченность арифметического числа есть просто определенность следования актов полагания, вызванная только чистой категорией самого акта, при безразличном участии фона, на котором происходит это следование. Упорядоченность же «множества» есть упорядоченность также и самого этого инобытия, этого инобытийного фона, раз оно входит во «множество» не в пассивно-безразличном, но в весьма разнообразном виде, конструируя различия «расстояний» и «направлений» актов полагания. Направление следования актов в чистом арифметическом числе есть направление актов полагания, взятых сразу вместе, как берутся сразу и вместе, напр., все признаки понятия. Направление, следовательно, признаков понятия есть только чистая совокупность этих признаков. Это направление нулевое. Тут действует не путь, по которому движется нечто, а само это нечто. Взявши несколько таких предметов в одну совокупность и не обращая никакого внимания на порядок объединения этих предметов, мы можем сказать, что направление, в котором они объединяются, есть нулевое направление. Это, однако, не значит, что о таком направлении совершенно нечего сказать с точки зрения логики. Так же как и нуль есть некая определенная и притом очень сложная логическая категория, так и нулевое направление актов полагания в каждом числе натурального ряда требует для себя точной логической фиксации. Это нулевое направление есть не что иное, как функционирование акта как голого принципа, как самостоятельной и беспримесной категориальности, вне всяких инобытийных привнесений.

Так, мы имеем «точку вообще», мы имеем дифференцированные взаимоотличные точки, мы имеем определенное следование этих точек (следование, при котором оставлены без внимания особенности пути, по которому совершается следование). На очереди определенность и ограниченность самого этого следования. Оно может быть большим и малым, конечным и бесконечным и пр. Становление должно мыслиться где-нибудь остановившимся, чтобы была полная определенность этого становления. Оно может быть и бесконечным, но мы тогда должны так и зафиксировать это. Беспредельно продолжающееся становление и следование есть тоже некая вполне определенная совокупность, вполне аналогичная с конечным рядом. И она так же отличается от пустого принципа становления, как и всякая конечность. Чистое становление ни конечно, ни бесконечно. И если мы его начинаем мыслить как конечное или как бесконечное, то в обоих случаях мы начинаем мыслить его как некую новую логическую определенность и категорию, резко отличающуюся от голого принципа становления. Эта определенность есть логическое прекращение становления, и эта категория есть ставшее. Нанося ряд точек на листе бумаги, мы на определенном месте останавливаемся и перестаем наносить дальнейшие точки. Это совершенно необходимо, если мы хотим