Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев Страница 178

есть диалектический синтез целого и дробного; это – граница между тем и другим. Дробное – то, чем является целое в своем инобытии, если отнять само целое и взять только инобытийные корреляты целого. Если теперь перенести в это инобытие и само целое, то это целое окажется полной недостижимостью для тех частей, из которых состоит инобытие целого, потому что инобытие есть всегда неразделимость, а, подвергнутое счету, оно есть всегда неисчислимость. Потому граница, отделяющая целое от дробного в этом диалектическом синтезе, состоит из бесконечного количества точек; она есть, короче говоря, бесконечность.

Эти две границы, нуль и бесконечность, находятся, несомненно, в положении диалектического противостояния. Нуль, отделяя положительные числа от отрицательных, является только одной точкой, рассекающей общую систему чисел; бесконечность же является целой бесконечностью таких чисел. Это, конечно, есть диалектическая антитеза. Для уточнения можно сказать, что достаточно уже только двух точек и достаточно, чтобы расстояние между этими точками было бесконечно мало, так как уже синтез бесконечности (т.е. синтез целого и дробного) осуществляется, ибо между двумя элементами множества, как бы они близко ни были между собой, всегда можно поместить еще одну точку. Это выражается в положении, что множество вещественных чисел повсюду плотно. Итак, каков синтез этих двух синтезов – нуля и бесконечности и [какова] граница, совмещающая в себе обе эти границы – границу в виде одной точки и границу в виде бесконечного количества точек?

b) Синтез должен объединить в себе и тезис, и антитезис. Другими словами, должна быть такая граница, которая есть и точка, и больше, чем точка («больше, чем точка» – это, как сказано, уже есть бесконечное количество точек). Должна быть граница, которая, оставаясь точкой, в то же время содержит в себе еще по крайней мере одну точку, отличающуюся от другой; должны быть, следовательно, две точки, которые являются в то же время [единством]. Что это значит и в чем тут дело?

Тут-то мы опять и должны призвать на помощь понятие числового контура, или числовой образности. Когда мы имеем некое A, оно остается неоформленным вплоть до момента отличения его от не-A и отождествленным с самим собою. Только когда мы скажем «A есть A», – возможным делается оформление этого A и четкое отличие его от всего прочего. Но, конструируя это содержание «A есть A», мы как-то должны отличать A от A, т.е. от него же самого; иначе самое это суждение «A есть A» окажется бессмысленным. Итак, A не только отличается от не-A, но отличается и от самого себя, – это мы хорошо знаем из общей диалектики. Но из этой же общей диалектики мы знаем, что это значит – отличие A от самого себя. Это значит то, что A есть некое целое, имеющее части. Как целое оно отличается от себя как от состоящего из частей (целое отличается от совокупности своих частей). Следовательно, суждение «A есть A», в сущности, есть суждение «A как целое <…>, A как совокупность частей».

Но как раз это самое мы утверждаем, когда отождествляем границу в смысле нуля с границей в смысле бесконечности.

Граница в смысле нуля есть последняя неделимая целость точки, та самая развернутая точка, которая еще не имеет никаких частей. Такое целое мы в общей диалектике всегда и аналогизируем с неделимой точкой. Граница же в смысле бесконечности есть совокупность некоей суммы точек, – по крайней мере двух точек; тут – целое раздроблено, и раздробленные точки объединены в некую сумму. Стало быть, отождествляя (и, следовательно, синтезируя) границу-нуль с границей-бесконечностью, мы попросту категориально фиксируем границу-нуль, как бы говорим, что «граница-нуль есть граница-нуль», т.е. как бы проводим эту границу-нуль жирной линией, делаем ее твердой, абсолютно негибкой, создаем абсолютно крепкий контур, получаем эту самую границу границы, или форму границы, о которой шла речь выше.

c) Итак, мнимое число есть также диалектический синтез нуля и бесконечности.

[К] этому заметим, что в анализе понятия бесконечности мы сталкивались с одним недостаточным и неполным видом синтеза нуля и бесконечности, именно с умножением нуля на бесконечность. Это умножение дает неопределенную величину – как вещественную, так и мнимую. Однако этот синтез, как мы там указали, неполный. Нуль и бесконечность не функционируют тут как логические категории, но лишь как счетные величины. В то время как при диалектическом синтезировании обе категории входят в синтез вполне равноправно и равномерно, при счетной операции умножения сомножители отнюдь не равноправны. Всякое умножение имеет своей основной темой, главным своим предметом – множимое, и о нем тут только и идет разговор; множитель же только показывает, чтó с множимым творится в инобытийной сфере. Поэтому синтез умножения – частичный, а именно счетно-количественный, а синтез диалектический – полный равномерный, а именно логически-категориальный.

d) Наконец, важно ощущать точную разницу между моментом числа i, выражаемым при помощи √–1, и его же моментом, выражаемым через синтез нуля и бесконечности. В первом случае в твердой оконтуренности и четкой смысловой фигурности, или образности, числа выдвигается, как мы знаем, момент полагания этой образности. Во втором случае, поскольку речь идет о проведении самой границы, о ее, так сказать, жирном черчении, нужно видеть противоположный момент образности, не субстанциальную ее положенность, но ее очерченность, картинность, что, несомненно, является чем-то противоположным первому случаю. Раз там субстанция числовой образности, то тут ее идея. И нет ли теперь такого представления о мнимой величине, где она сразу была бы дана и как субстанция числовой фигурности, и как ее идея?

Таким синтетическим представлением мнимой величины является т.н. гауссовское представление мнимости.

§ 106.

Гауссовское представление

1.

Гауссовское представление мнимости сводится к следующему. Пусть мы имеем в круге перпендикуляр, опущенный с какой-нибудь точки окружности на диаметр. В полученном таким образом прямоугольном треугольнике (с прямым углом, опирающимся на диаметр) этот перпендикуляр, как известно из элементарной геометрии, будет средним пропорциональным между обоими отрезками диаметра. Для простоты будем считать, что этот перпендикуляр будет совпадать тоже с диаметром и что радиус данного круга равен единице. Тогда, рассматривая оба диаметра как оси координат, мы получаем отрезок первого диаметра направо = +1, отрезок того же диаметра налево от центра координат = –1, а отрезок второго диаметра поверх

= √((+1)·(–1)) = √–1 = i.

Мнимое число, следовательно, есть квадратный корень из произведения положительной единицы на отрицательную.

Конечно, это понимание мало чем отличается от первого, где фигурирует просто √–1. Однако тут есть такое отличие, которым никак нельзя пренебрегать в диалектике. В чем тут дело?