Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев Страница 162

Стало быть, если первые три категории обозначить через I.II.III, вторые – через IV.V.VI, а третьи – через VII.VIII.IX, то

· VII, являясь тезисом третьей триады, должна быть синтезом для I и IV;

· VIII, являясь антитезисом третьей триады, должна быть синтезом II и V; и

· IX, являясь синтезом третьей триады, должна быть и синтезом для III и VI.

Только при таком всестороннем диалектическом взаимоотношении этих девяти типов числа можно говорить, что эти типы даны у нас действительно диалектически и что они на самом деле суть диалектические категории какого-то одного и единственного числового всеединства.

Наметивши этот порядок дальнейшего исследования, перейдем к характеристике трех остающихся категорий, или типов, числа.

2.

Задание мыслить первую из этих категорий совершенно ясно: она должна совместить «положительность» и «целость», или, говоря более отвлеченно, но, кажется, более понятно, – совместить утверждение числа как некоего факта и утверждение числа как некоего внутреннего содержания. Тут должно повториться явление, общее всякому диалектическому переходу от внутреннего к внешнему. Вспомним это обычное в общей диалектике смысловое обстояние. Если совершается переход от внутреннего к внешнему (или обратно) и обретается категория, в которой внутреннее и внешнее тождественны, то прежде всего внешнее оказывается не только явлением внутреннего, но и проявлением внутреннего. Все, что есть внутри данной сферы, оказывается уже и вне этой сферы, на ней, на ее поверхности; а все, что на поверхности, оказывается внутри. Оказывается, что внутреннее содержание числа или вещи может быть извлечено из их недр на внешнюю поверхность путем некоторых планомерных операций и это извлечение дает вполне адекватное соответствие обеих сфер, внутренней и внешней. В применении к числу удобнее и яснее будет, если мы употребим термин «соизмеримость» вместо более отвлеченного и более пустого – «соответствие», или «проявление». Именно, внутреннее содержание числа и его внешняя утвержденность в случае их синтеза оказываются взаимно соизмеримыми. То, что внутри, может здесь измеряться чисто внешними мерами, и это измерение осуществляется вполне точно и адекватно. То, что внутри, можно получить при помощи определенных и четких действий; и то, что вне, есть не что иное, как только так или иначе измеренное внутреннее.

Число, представляющее собою тождество своего внутреннего и внешнего содержания, есть рациональное число. Всмотримся ближе в эту новую категорию.

3.

Что в математике мы именуем рациональным числом? В основном понятие рационального сходится здесь почти точно с обычным общефилософским и даже обыденным пониманием этого термина. Когда мы говорим о «рационализме», о «рациональном доказательстве», о «рациональном обосновании», мы имеем в виду полную взаимную приспособленность и соответствие между «ratio», т.е. рассудком (или разумом), и тем, что берется как предмет этого «ratio», соответствие между «идеями» и «вещами». Известна формула старого рационализма, коротко выражающая его сущность:

«Порядок и связь вещей – те же, что порядок и связь идей».

С точки зрения подобного учения, «идеи» вполне точно и правильно, вполне адекватно выражают сущность вещей, бытия; внутреннее содержание вещей вполне выразимо в идеях, идеи и вещи абсолютно соизмеримы между собою. В понятие рационального мы здесь вкладываем, следовательно, прежде всего указание на рассудочную соизмеримость, чисто логическую измеренность бытия. Мыслятся два плана бытия, измеряемый вещественный и измеряющий рассудочный, и требуется, чтобы оба они выражали друг друга, чтобы получалось действительно измерение, и притом абсолютно точное. То же самое понятие рациональности имеется в виду, когда говорят в математике о рациональном числе.

В рациональном числе тоже нет плоскостной точки зрения. Рациональное число не плоскостно, но рельефно, ибо оно обязательно совмещает в себе три слоя – измеряющее, измеряемое и измерение. Рациональное число говорит нам о том, что измеряемое измеряется и что в результате этого процесса измерения получается именно измеренное, вполне адекватно и точно измеренное, нечто, целиком перешедшее в измеренное и отдавшее себя измерению, то, что ничего не утаило из своего содержания от измеряющего и все передало из себя на волю измеряющего. Эти три слоя совершенно неискоренимо присутствуют в рациональном числе, и без них невозможна такая категория.

Внутреннее содержание числа, которое входит в синтез с внешним его фактом для порождения рационального числа, берется на стадии целости. Целость есть то внутреннее, что подлежит выразить внешне, и притом с абсолютной точностью. Но в распоряжении «внешнего» находится на изучаемой стадии только утвержденность, положенность числа; число здесь утверждается, как бы кладется или ставится на некую плоскость, наподобие куска камня или дерева. Из этих положенностей или утвержденностей или, вернее, при помощи их надо получить и выявить все внутреннее содержание числа, т.е. его нераздельную и неделимую целость. Совершенно ясна модификация первых двух категорий, вступающих в этот интимный союз, порождающий сферу рациональных чисел. Положенность и утвержденность числа, давшая нам раньше категорию положительного числа, теперь совсем теряет эту свою функцию, имевшую место в первой триаде в силу господствующей там смысловой ситуации. Эта сплошная утвержденность, призванная здесь выразить внутреннюю сущность числа, перестает быть изолированным фактом, который, противостоя абсолютному числу (т.е. никак не положенному), является тем самым как число положительное. Здесь эта утвержденность функционирует до тех пор, пока она не выразит всего внутреннего содержания; и, следовательно, выходя из состояния изолированного факта числа, она превращается в целую систему фактов, в целую систему утвержденностей, в некий определенный порядок и связь этих утвержденностей. Но положить что-нибудь в числовом смысле – значит утвердить его как некое одно, как единицу. И если изучаемая категория превратилась в целую систему «полаганий», то это значит, что внутреннее, подлежащее внешнему выражению, выражается здесь некоторой суммой операций над единицей. Внутреннее содержание, выступая вовне, полагает себя как себя определенное число раз и тем самым превращает себя не только в измеряемую величину, но и в нечто соизмеримое в смысле составленности из отдельных полаганий, из отдельных единиц.

Рациональное число есть число, адекватно, т.е. абсолютно точно, составленное из единицы, из тех или иных действий с единицей.

Таков результат необходимости синтеза с внешней положенностью числа. Внешняя положенность, синтезируясь с внутренним числовым содержанием, требует составленности этого внутреннего содержания из единицы.

Но в синтезе участвует внутренняя сторона числа, и притом, как мы знаем, участвует она на стадии целости. С внешней положенностью числа синтезируется здесь именно целое число. Что это вносит в общее содержание изучаемого синтеза? Этим вносится в результат измерения прежде всего целость как таковая, а кроме того, и целость в ее развернутом виде, т.е. вносится также и наличие частей, но с точной фиксацией зависимости их от целого и, следовательно, наличия целого в каждой