Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев Страница 103

бесконечность самой бесконечности. Сама бесконечность тут положена как таковая, ставши из мнимой (в эллиптическом пространстве) фактической, вещественной. На нашем языке это значит, что параболическое становление перешло тут в гиперболически ставшее. В конечной же области это сказывается бесконечно расходящимися прямыми, тем, что к данной прямой через данную точку возможно бесконечное количество параллельных. Если в пространстве Римана каждая точка, уходя в бесконечность становления, тут же и возвращается к себе, так что мы уже в конечной области созерцали этот диалектический круговорот, то в гиперболическом пространстве точка не только не возвращается к себе, но уходит в реальную, вещественную бесконечность, и не только это, но стремится в этой бесконечности утвердиться и осесть. Тогда пересечение двух прямых, прошедших через бесконечность, может быть только мнимым, т.е. оно попросту отсутствует вещественно и только идеально представляется.

Но, пожалуй, интерпретация Кэли – Клейна еще более простая (рис. 8). Представим себе шар. Точкой пусть будет точка только внутри этого шара, прямой – его хорда и плоскостью – любое круговое сечение шара. Все точки на поверхности шара исключаются. Тогда пересекающимися прямыми окажутся только те, которые имеют общую точку внутри шара. Если иметь в виду прямую AB и точку M, то пересекаться с AB будут все прямые, исходящие из M внутри угла AMB. Все же прямые за пределами этого угла не будут пересекаться с AB (вещественно, а будут пересекаться мнимо за пределами круга). Прямые MA и MB будут отделять все пересекающиеся прямые от не пересекающихся с прямой AB, т.е. они будут параллельными в смысле Лобачевского. Мы видим, что непересекающихся, расходящихся прямых в этих условиях может быть сколько угодно, что бесконечно удаленные точки никогда не могут быть достигнуты (так как они исключаются с самого начала), что прямые MA и MB образуют «равные» углы с «перпендикуляром» из M и AB и т.д. Тут выполняются все аксиомы геометрии, за исключением аксиомы об единственной параллельной.

c) В данном месте нет надобности давать обоснование эвклидовой геометрии; тем более нет надобности как-нибудь иллюстрировать относящиеся сюда области.

Заметим только ради единства изложения, что пра-символом Эвклидового пространства также может быть связка окружностей и сфер, причем именно параболического типа, т.е. когда все окружности и сферы имеют одну общую точку (см. выше, п. 5b). Пусть прямыми и плоскостями будут окружности и сферы сети, а точка останется в обычном виде. Другими словами, всякая окружность окажется символом бесконечно удаленной прямой, а параллельными прямыми окажутся все окружности, пересекающиеся в данной точке. Легко увидеть, что все до-выразительные аксиомы и Эвклидова аксиома параллельности вполне найдут себе место в так понимаемом пространстве.

d) Наконец, тот же Пуанкаре еще в одной старой работе[35] дал простейшее и яснейшее представление об основных «квадратичных» геометриях, под которыми он понимает геометрии, рассматриваемые с точки зрения основной поверхности второго порядка. Если этой основной поверхностью второго порядка является обыкновенный шар, то эта сферическая геометрия и есть геометрия Римана при условии понимания больших кругов в качестве прямых линий. Геометрию Римана мы получаем и на эллипсоиде. При двуполом гиперболоиде в качестве основной поверхности мы имеем геометрию Лобачевского, а при эллиптическом параболоиде – геометрию Эвклида. Можно поставить вопрос и о геометрии на однополом параболоиде, если отказаться от предрассудков, которые часто мешают геометрам серьезно отнестись к тем или другим пространствам. Пуанкаре говорит, что для геометрии однополого гиперболоида нужно признать,

что: 1) расстояние двух точек, лежащих на одной и той же прямой на производящей основной поверхности, равняется нулю;

что 2) никаким движением нельзя превратить эллиптические диаметральные сечения в гиперболические (то и другое принимается за прямые);

что 3) невозможно совместить прямую с самой собой путем вращения около одной из ее точек (как у Эвклида совмещается сама собой прямая при вращении на 180°).

Словом, сколько существует поверхностей второго порядка, столько можно себе представить и квадратичных геометрий.

7.

В заключение, возвращаясь к трем видам выразительной аксиоматики в геометрии, формулированным в п. 3, дадим общую характеристику выразительного пространства.

Выразительное пространство есть такое внешнее пространство, по которому видно внутреннее. Внутренним, или идеальным, пространством является чистая фигурность как таковая, в той форме, как она выведена на основании аксиом едино-раздельности, непрерывности и конгруэнции. Внешним, реальным, инобытийным пространством является абсолютно-внефигурное становление, противостоящее всякой фигуре. Когда рождается выразительное пространство, то тем самым прекращается раздельное бытие обоих абстрактных пространств и возникает их абсолютное тождество как символ. Этот символ есть перво-принцип выразительного пространства.

Пространство как символ, как символическое пространство сначала понимаем непосредственно, как простую положенность, как тезис. Это значит, что идеальная фигурность просто и целиком воплощена на темном поле инобытийно-бесконечного пространства. Но воплотиться идее – значит целиком присутствовать ей везде, мгновенно охватывать всю длительность пространства. Другими словами, идея, уходя вовне, там же вовне и встречает себя, вечно пребывая, таким образом, в нерушимом круговороте себя самой. Это опознание себя в инобытии, эта встреча с самой собою, когда всякая точка сразу двигается от себя самой во всех возможных направлениях и тем самым отовсюду приближается к себе самой, – вот это пространство как символ, как тезис символа, как принцип символа и есть сферическое пространство Римана. Оно бесконечно, но его бесконечность не расплывается до безразличия, а собрана в себе; она есть система выразительной кривизны, обозримая уже на конечных масштабах. Да бесконечность и не нуждается в отсутствии границ. Истинно бесконечное – оформленно, определенно и в этом смысле конечно. Или, выражаясь бессмертными словами Римана в его общеизвестной вступительной лекции о гипотезах в геометрии, оно – безгранично, но не бесконечно.

Но вот, символ переходит в свое инобытие; он отрицает себя. Пространство, в котором каждая точка возвращалась к себе и которое было сконструировано так, что был обеспечен круговорот бытия геометрической идеи в себе и невозможно было этому бытию иметь другие пути для перемещения фигур, – это пространство вдруг бросается в бездну бесконечной тьмы, забывает себя, отчуждается себя, перестает быть собою. Раньше оно было вечным возвратом себя, теперь же оно – антитезис этого возврата, т.е. теперь оно – уход от себя без возврата к себе, не круговорот, а истечение в неведомую мглу. Положительная кривизна сферического пространства распрямляется и превращается в прямизну. Пространство уже не обеспечивает предмет[ы] такого движения, чтобы оно приводило их к самим же себе. Наоборот, пространство сконструировано здесь так, что если вещь уходит от некоторой точки, то она уходит всерьез и уже никогда не вернется к исходному месту. Таково пространство Эвклида.

Но всякая