(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг - Джо Боулер Страница 8

Этот метод также полезно взять на вооружение в классах, где учащиеся работают в разном темпе. Если одни заканчивают работу раньше других, я не даю им следующее задание, пока не спрошу, могут ли они найти другой способ решения, отличный от того, которым они только что воспользовались. Это важный способ знакомить школьников с математическим разнообразием.

4. Размышляйте над вопросом «почему?»

На занятии для шестиклассников Карлос не меньше семи раз задавал вопрос, почему умножение работает, прежде чем один из учеников перешел от слов «это работает» к объяснению соответствующего математического процесса и логики, лежащей в его основе. Знание того, почему что-то работает, имеет решающее значение для понимания математики, особенно для девочек и женщин, которые, как было установлено, стремятся к более глубокому пониманию, нежели мальчики и мужчины65. Знание причин полезно для всех полов, но женщины и девочки часто теряют интерес к математике, если не получают доступ к такому глубокому пониманию.

5. Упрощайте

Упрощайте задачи, чтобы было легче понимать, вычислять или воспринимать. Как я детально покажу в главе 6, видоизменение задачи – то самое действие, которое отделяет отличников от неуспевающих при решении задач с числами66. Например, когда школьников просят найти 19 + 6, они вместо этого складывают 20 + 5. Это может показаться само собой разумеющимся, однако я обнаружила, что многие слабо успевающие ученики уверены, что менять поставленную перед ними задачу «не позволяется». Подход с изменением чисел или фигур помогает людям повысить гибкость в решении задач.

6. Гипотезы

Шестая стратегия преподавания – предложить учащимся придумывать свои собственные гипотезы. В математике гипотеза – это идея, которая еще не доказана, а находится на стадии предположения. Из-за того, что в школах все внимание уделяют правилам, многие школьники не понимают ценности своих собственных мыслей. На занятиях я объясняю учащимся, что их роль в классе частично заключается в том, чтобы выдвигать свои собственные гипотезы.

7. Станьте скептиком Седьмая стратегия, которая отлично сочетается с придумыванием гипотез, – пригласить учащихся порассуждать и взять на себя роль скептика. Я пытаюсь донести мысль, что в математике очень важно приводить обоснования – объяснять, почему они выбрали те или иные методы, логические связи между ними и почему они работают. Подобные размышления являются сутью математики. Опубликованные работы ученых сплошь состоят из таких умозрений, поскольку именно так теоретики доказывают математические идеи. На рабочих местах также более эффективными являются те взрослые, которые умеют делиться своими умозаключениями67.

Я рассказываю учащимся, что существует три уровня рассуждений: на самом низком уровне вы обычно можете убедить в чем-то себя; немного сложнее убедить друга; и самый высокий уровень – способность убедить скептика (рис. 2.4). Затем я предлагаю им роль скептиков!

Я поощряю схему скептика, поскольку считаю, что она невероятно эффективно преображает дискуссии в классе. До применения этой техники центром всех обсуждений является учитель, но, стоит только попросить учеников стать скептиками по отношению друг к другу, ситуация меняется.

Рис. 2.4. Схема скептика.

Как только я предлагаю ученикам средней школы в наших лагерях центра Youcubed проявлять скептицизм, они немедленно и охотно подхватывают эту идею. Когда мы организовали первые лагеря, я беспокоилась, что разговоры в классе сведутся преимущественно к ответам на вопросы преподавателей вместо общения друг с другом. Однако, благодаря «игре в скептика», мои опасения не подтвердились. Я до сих пор помню, как школьник Джош доказывал гипотезу другого школьника Мэтта. Мэтт высказал предположение, что сумма любых двух нечетных чисел всегда окажется четным числом. Я обратилась к классу, может ли кто-нибудь это доказать. Вызвавшийся Джош подошел к доске.

Он начал свои рассуждения с примера, сказав, что 1 + 2 = 3, а 3 – нечетное число, но при этом 1 + 1 = 2, а 2 – четное, и самоуверенно добавил: «И это работает для всего. Конец!» Школьники, которые научились быть скептиками, немедленно отреагировали: «Почему это работает?» и «Докажи нам это!» Джош принял вызов, радостно заявив: «Вы хотите, чтобы я это доказа-а-а-а-а-л?!» После чего выдал другой пример: «Складываем 201 (нечетное число) и 1103 (тоже нечетное), и в итоге получаем 1304, то есть четное». Остальные продолжали выражать скептицизм, спрашивая, почему так получается. Джош дополнил свое доказательство: «Потому что вы можете разделить 1304 на 2, и оно разделится на два четных числа. Бам!»

Тем самым ученики упражнялись в скептицизме, а Джош отвечал им дополнительными рассуждениями. Такая мощная связь побуждает детей понять, что их роль в изучении математики заключается в том, чтобы участвовать в осмыслении и обсуждении. Чем активнее размышляют отвечающие, тем больший доступ к пониманию появляется у их одноклассников.

Рис. 2.5. Шахматная доска.

8. Проведите простую аналогию

Последняя математическая стратегия – предложить школьникам решить задачу на более простом уровне. Например, если вас попросили определить, сколько квадратов имеется на шахматной доске 8 на 8 (рис. 2.5) (ответ: не 64!), полезно будет сначала подсчитать количество квадратов на досках размером 2 на 2, 3 на 3 и 4 на 4 (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Шахматные доски меньшего размера. Слева – Можете ли вы найти 5 квадратов?; посередине – Можете ли вы найти 14 квадратов?; справа – Можете ли вы найти 30 квадратов?

Обращение к более простому случаю позволит вам гораздо четче увидеть закономерности.

Такой метод подходит для всех математических операций. Так, если вас просят разделить 2 на 5/6 – задача, которая заставляет многих людей тревожиться и обливаться потом, – достаточно просто спросить себя: «Сколько будет 2, деленное на 1/6?», и нахождение ответа на исходный вопрос не заставит себя долго ждать.

Эти восемь стратегий помогут вам в решении любых математических вопросов, с которыми вы столкнетесь. Они не так хорошо известны и не особо применяются в математических классах, однако обладают огромной мощью. Памятку с ними можно скачать на сайте Mathish.org.

Метапознание с помощью дневника

Я очень люблю давать учащимся дневники, в которых они описывают свой путь в изучении математики. Это не те рабочие тетради, в которых обычно записывают ответы на уроках математики, а открытое пространство для свободного выражения мыслей. Место, где можно излагать свои мысли, полезно иметь не только ученикам; оно принесет пользу всем. Я никуда не хожу без своего собственного дневника, куда заношу все, что считаю важным.

Мне больше нравятся ежедневники с пустыми страницами или с квадратами, слегка намеченными пунктиром, чтобы учащиеся могли выходить за рамки в буквальном смысле. В наших математических лагерях мы выдаем дневники ученикам, предлагая записывать любые полезные идеи, касающиеся математики или их учебы. В начале занятий мы также выделяем учащимся время на оформление дневников, чтобы они чувствовали себя их хозяевами. Время от времени мы собираем эти тетради и оставляем комментарии о проделанной работе, которые пишутся на вкладных стикерах, чтобы у школьников не возникало ощущения, что оценки учителей отбирают у них пространство для размышлений.

Формирование рефлексивного мышления и личностный рост

Исследования показали, что обдумывание своего обучения – важная часть метакогнитивного подхода, которая повышает успеваемость68. Владение таким самоанализом часто определяет разницу между эффективной и неэффективной учебой, поэтому учителя и родители должны всячески поощрять эту практику. В таблице на с. 57 представлены варианты полезных вопросов, которые можно задавать ученикам на уроках, – для обдумывания либо в конце занятия, либо дома. Список дает ученикам возможность выбора, чтобы они могли рефлексировать над одним